第二部分

對于陀螺儀我們將不會像加速度計一樣介紹它的等價盒子模型，而是直接跳到加速度計的第二個模型，通過這個模型我們會向大家介紹陀螺儀是怎么工作的。

陀螺儀的每個通道檢測一個軸的旋轉(zhuǎn)。例如，一個2軸陀螺儀檢測繞X和Y軸的旋轉(zhuǎn)。為了用數(shù)字來表達這些旋轉(zhuǎn)，我們先引進一些符號。首先我們定義：
Rxz – 慣性力矢量R在XZ平面上的投影
Ryz – 慣性力矢量R在YZ平面的上投影
在由Rxz和Rz組成的直角三角形中，運用勾股定理可得：
Rxz^2 = Rx^2 + Rz^2 ，同樣：
Ryz^2 = Ry^2 + Rz^2
同時注意：
R^2 = Rxz^2 + Ry^2 ，這個公式可以公式1和上面的公式推導出來，也可由R和Ryz所組成的直角三角形推導出來
R ^ 2 = Ryz ^ 2 + RX ^ 2
在這篇文章中我們不會用到這些公式，但知道模型中的那些數(shù)值間的關(guān)系有助于理解。
相反，我們按如下方法定義Z軸和Rxz、Ryz向量所成的夾角：
AXZ - Rxz（矢量R在XZ平面的投影）和Z軸所成的夾角
AYZ - Ryz（矢量R在YZ平面的投影）和Z軸所成夾角
現(xiàn)在我們離陀螺儀要測量的東西又近了一步。陀螺儀測量上面定義的角度的變化率。換句話說，它會輸出一個與上面這些角度變化率線性相關(guān)的值。為了解釋這一點，我們先假設(shè)在t0時刻，我們已測得繞Y軸旋轉(zhuǎn)的角度（也就是Axz），定義為Axz0，之后在t1時刻我們再次測量這個角度，得到Axz1。角度變化率按下面方法計算：
RateAxz = (Axz1 – Axz0) / (t1 – t0).
如果用度來表示角度，秒來表示時間，那這個值的單位就是 度/秒。這就是陀螺儀檢測的東西。
在實際運用中，陀螺儀一般都不會直接給你一個單位為度/秒的值（除非它是個特殊的數(shù)字陀螺儀）。就像加速度計一樣，你會得到一個ADC值并且要用類似公式2的式子將其轉(zhuǎn)換成單位為 度/秒的值。讓我們來介紹陀螺儀輸出值轉(zhuǎn)換中的ADC部分（假設(shè)使用10位ADC模塊，如果是8位ADC，用1023代替255，如果是12為ADC用4095代替1023）。
RateAxz = (AdcGyroXZ * Vref / 1023 – VzeroRate) / Sensitivity 公式3
RateAyz = (AdcGyroYZ * Vref / 1023 – VzeroRate) / Sensitivity
AdcGyroXZ，AdcGyroYZ - 這兩個值由ADC讀取，它們分別代表矢量R的投影在XZ和YZ平面內(nèi)里的轉(zhuǎn)角，也可等價的說，旋轉(zhuǎn)可分解為單獨繞Y和X軸的運動。
Vref – ADC的參考電壓，上例中我們使用3.3V
VzeroRate – 是零變化率電壓，換句話說它是陀螺儀不受任何轉(zhuǎn)動影響時的輸出值，對Acc Gyro板來說，可以認為是1.23V（此值通常可以在說明書中找到——但千萬別相信這個值，因為大多數(shù)的陀螺儀在焊接后會有一定的偏差，所以可以使用電壓計測量每個通道的輸出值，通常這個值在焊接后就不會改變，如果有跳動，在設(shè)備使用前寫一個校準程序?qū)ζ溥M行測量，用戶應(yīng)當在設(shè)備啟動的時候保持設(shè)備靜止以進行校準）。
Sensitivity –陀螺儀的靈敏度，單位mV/(deg/s)，通常寫作mV/deg/s,它的意思就是如果旋轉(zhuǎn)速度增加1°/s,陀螺儀的輸出就會增加多少mV。Acc_Gyro板的靈敏度值是2mV/deg/s或0.002V/deg/s
讓我們舉個例子，假設(shè)我們的ADC模塊返回以下值：
AdcGyroXZ = 571
AdcGyroXZ = 323
用上面的公式，在代入Acc Gyro板的參數(shù)，可得：
RateAxz = (571 * 3.3V / 1023 – 1.23V) / ( 0.002V/deg/s) =~ 306 deg/s
RateAyz = (323 * 3.3V / 1023 – 1.23V) / ( 0.002V/deg/s) =~ -94 deg/s
換句話說設(shè)備繞Y軸（也可以說在XZ平面內(nèi)）以306°/s速度和繞X軸（或者說YZ平面內(nèi)）以-94°/s的速度旋轉(zhuǎn)。請注意，負號表示該設(shè)備朝著反方向旋轉(zhuǎn)。按照慣例，一個方向的旋轉(zhuǎn)是正值。一份好的陀螺儀說明書會告訴你哪個方向是正的，否則你就要自己測試出哪個旋轉(zhuǎn)方向會使得輸出腳電壓增加。最好使用示波器進行測試，因為一旦你停止了旋轉(zhuǎn)，電壓就會掉回零速率水平。如果你使用的是萬用表，你得保持一定的旋轉(zhuǎn)速度幾秒鐘并同時比較電壓值和零速率電壓值。如果值大于零速率電壓值那說明這個旋轉(zhuǎn)方向是正向。

第三部分 融合加速度計和陀螺儀的數(shù)據(jù)

如果你在閱讀這篇文章你可能已經(jīng)有了或準備購買一個IMU設(shè)備，或者你準備用獨立的加速度計和陀螺儀搭建一個。
注：具體的代碼實現(xiàn)和算法測試，請閱讀這篇文章：http://starlino.com/imu_kalman_arduino.html

在使用整合了加速度計和陀螺儀的IMU設(shè)備時，首先要做的就是統(tǒng)一它們的坐標系。最簡單的辦法就是將加速度計作為參考坐標系。大多數(shù)的加速度計技術(shù)說明書都會指出對應(yīng)于物理芯片或設(shè)備的XZY軸方向。例如，下面就是Acc Gyro板的說明書中給出的XYZ軸方向：

接下來的步驟是：
- 確定陀螺儀的輸出對應(yīng)到上述討論的RateAxz，RateAyz值。
- 根據(jù)陀螺儀和加速度計的位置決定是否要反轉(zhuǎn)輸出值
不要設(shè)想陀螺儀陀的輸出有XY，它會適應(yīng)加速度計坐標系里的任何軸，盡管這個輸出是IMU模塊的一部分。最好的辦法就是測試。
接下來的示例用來確定哪個陀螺儀的輸出對應(yīng)RateAxz。
- 首先將設(shè)備保持水平。加速度計的XY軸輸出會是零加速度電壓（Acc Gyro板的值是1.65V）
- 接下來將設(shè)備繞Y軸旋轉(zhuǎn)，換句話說就是將設(shè)備在XZ平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，所以X、Z的加速度輸出值會變化而Y軸保持不變。
-當以勻速旋轉(zhuǎn)設(shè)備的時候，注意陀螺儀的哪個通道輸出值變化了，其他輸出應(yīng)該保持不變。
- 在陀螺儀繞Y軸旋轉(zhuǎn)（在XZ平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)）的時候輸出值變化的就是AdcGyroXZ，用于計算RateAxz
-最后一步，確認旋轉(zhuǎn)的方向是否和我們的模型對應(yīng)，因為陀螺儀和加速度的位置關(guān)系，有時候你可能要把RateAxz值反向
-重復上面的測試，將設(shè)備繞Y軸旋轉(zhuǎn)，這次查看加速度計的X軸輸出（也就是AdcRx）。如果AdcRx增大（從水平位置開始旋轉(zhuǎn)的第一個90°），那AdcGyroXZ應(yīng)當減小。這是因為我們觀察的是重力矢量，當設(shè)備朝一個方向旋轉(zhuǎn)時矢量會朝相反的方向旋轉(zhuǎn)（相對坐標系運動）。所以，如果你不想反轉(zhuǎn)RateAxz，你可以在公式3中引入正負號來解決這個問題：
RateAxz = InvertAxz * (AdcGyroXZ * Vref / 1023 – VzeroRate) / Sensitivity ,其中InvertAxz= 1 或-1
同樣的方法可以用來測試RateAyz，將設(shè)備繞X軸旋轉(zhuǎn)，你就能測出陀螺儀的哪個輸出對應(yīng)于RateAyz，以及它是否需要反轉(zhuǎn)。一旦你確定了InvertAyz，你就能可以用下面的公式來計算RateAyz：
RateAyz = InvertAyz * (AdcGyroYZ * Vref / 1023 – VzeroRate) / Sensitivity
如果對Acc Gyro板進行這些測試，你會得到下面的這些結(jié)果：
- RateAxz的輸出管腳是GX4，InvertAxz = 1
- RateAyz輸出管腳是GY4，InvertAyz = 1
從現(xiàn)在開始我們認為你已經(jīng)設(shè)置好了IMU模塊并能計算出正確的Axr，Ayr，Azr值（在第一部分加速度計中定義）以及RateAyz，RateAyz（在第二部分陀螺儀中）。下一步，我們分析這些值之間的關(guān)系并得到更準確的設(shè)備和地平面之間的傾角。
你可能會問自己一個問題，如果加速度計已經(jīng)告訴我們Axr，Ayr，Azr的傾角，為什么還要費事去得到陀螺儀的數(shù)據(jù)？答案很簡單：加速度計的數(shù)據(jù)不是100%準確的。有幾個原因，還記加速度計測量的是慣性力，這個力可以由重力引起（理想情況只受重力影響），當也可能由設(shè)備的加速度（運動）引起。因此，就算加速度計處于一個相對比較平穩(wěn)的狀態(tài)，它對一般的震動和機械噪聲很敏感。這就是為什么大部分的IMU系統(tǒng)都需要陀螺儀來使加速度計的輸出更平滑。但是怎么辦到這點呢？陀螺儀不受噪聲影響嗎？
陀螺儀也會有噪聲，但由于它檢測的是旋轉(zhuǎn)，因此對線性機械運動沒那么敏感，不過陀螺儀有另外一種問題，比如漂移（當選擇停止的時候電壓不會回到零速率電壓）。然而，通過計算加速度計和陀螺儀的平均值我們能得到一個相對更準確的當前設(shè)備的傾角值，這比單獨使用加速度計更好。
接下來的步驟我會介紹一種算法，算法受卡爾曼濾波中的一些思想啟發(fā)，但是它更簡單并且更容易在嵌入式設(shè)備中實現(xiàn)。在此之前，讓我們先看看我們需要算法計算什么值。所要算的就是重力矢量R=[Rx,Ry,Rz]，它可由其他值推導出來，如Axr，Ayr，Azr或者cosX，cosY，cosZ，由這些值我們能得到設(shè)備相對地平面的傾角值，這些關(guān)系我們在第一部分已經(jīng)討論過。有人可能會說-根據(jù)第一部分的公式2我們不是已經(jīng)得到Rx，Ry，Rz的值了嗎？是的，但是記住，這些值只是由加速度計數(shù)據(jù)推導出來的，如果你直接將它們用于你的程序你會得到難以忍受的噪聲。為了避免進一步的混亂，我們重新定義加速度計的測量值：
Racc – 是由加速度計測量到得慣性力矢量，它可分解為下面的分量（在XYZ軸上的投影）：
RxAcc = (AdcRx * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity
RyAcc = (AdcRy * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity
RzAcc = (AdcRz * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity
現(xiàn)在我們得到了一組只來自于加速度計ADC的值。我們把這組數(shù)據(jù)叫做“vector”，并使用下面的符號：
Racc = [RxAcc,RyAcc,RzAcc]
因為這些Racc的分量可由加速度計數(shù)據(jù)得到，我們可以把它當做算法的輸入。
請注意Racc測量的是重力，如果你得到的矢量長度約等于1g那么你就是正確的：
|Racc| = SQRT(RxAcc^2 +RyAcc^2 + RzAcc^2),
但是請確定把矢量轉(zhuǎn)換成下面的矢量非常重要：
Racc(normalized) = [RxAcc/|Racc| , RyAcc/|Racc| , RzAcc/|Racc|].
這可以確保標準化Racc始終是1。
接來下我們引進一個新的向量：
Rest = [RxEst,RyEst,RzEst]
這就是算法的輸出值，它經(jīng)過陀螺儀數(shù)據(jù)的修正和基于上一次估算的值。
這是算法所做的事：
-加速度計告訴我們：“你現(xiàn)在的位置是Racc”
我們回答：“謝謝，但讓我確認一下”
-然后根據(jù)陀螺儀的數(shù)據(jù)和上一次的Rest值修正這個值并輸出新的估算值Rest。
-我們認為Rest是當前設(shè)備姿態(tài)的“最佳值”。
讓我們看看它是怎么實現(xiàn)的。
數(shù)列的開始，我們先認為加速度值正確并賦值：
Rest(0) = Racc(0)
Rest和Racc是向量，所以上面的式子可以用3個簡單的式子代替，注意別重復了：
RxEst（0）= RxAcc（0）
RyEst（0）= RyAcc（0）
RzEst（0）= RzAcc（0）
接下來我們在每個等時間間隔T秒做一次測量，得到新的測量值，并定義為Racc（1），Racc（2），Racc（3）等等。同時，在每個時間間隔我們也計算出新的估算值Rest（1）,Rest（2），Rest（3），等等。
假設(shè)我們在第n步。我們有兩列已知的值可以用：
Rest(n-1) – 前一個估算值，Rest(0) = Racc(0)
Racc(n) – 當前加速度計測量值
在計算Rest（n）前，我們先引進一個新的值，它可由陀螺儀和前一個估算值得到。
叫做Rgyro，同樣它是個矢量并由3個分量組成：
Rgyro = [RxGyro,RyGyro,RzGyro]
我們分別計算這個矢量的分量，從RxGyro開始。

首先觀察陀螺儀模型中下面的關(guān)系，根據(jù)由Rz和Rxz組成的直角三角形我們能推出：
tan(Axz) = Rx/Rz => Axz = atan2(Rx,Rz)
你可能從未用過atan2這個函數(shù)，它和atan類似，但atan返回值范圍是（-PI/2,PI/2），atan2返回值范圍是（-PI，PI），并且他有兩個參數(shù)。它能將Rx，Rz值轉(zhuǎn)換成360°（-PI，PI）內(nèi)的角度。更多信息請閱讀 atan2.
所以，知道了RxEst（n-1）和RzEst（n-1）我們發(fā)現(xiàn)：
Axz(n-1) = atan2( RxEst(n-1) , RzEst(n-1) ).
記住，陀螺儀測量的是Axz角度變化率，因此，我們可以按如下方法估算新的角度Axz（n）：
Axz(n) = Axz(n-1) + RateAxz(n) * T
請記住，RateAxz可由陀螺儀ADC讀取得到。通過使用平均轉(zhuǎn)速可由得到一個更準確的公式：
RateAxzAvg =（RateAxz（N）+ RateAxz（N-1））/ 2
Axz(n) = Axz(n-1) + RateAxzAvg * T
同理可得：
Ayz(n) = Ayz(n-1) + RateAyz(n) * T
好了，現(xiàn)在我們有了Axz（n），Ayz（n）。現(xiàn)在我們?nèi)绾瓮茖С?/span>RxGyro/RyGyro?根據(jù)公式1我們可以把Rgyro長度寫成下式：
| Rgyro | = SQRT（RxGyro ^ 2 + RyGyro ^ 2 + RzGyro ^ 2）
同時，因為我們已經(jīng)將Racc標準化，我們可以認為它的長度是1并且旋轉(zhuǎn)后保持不變，所以寫成下面的方式相對比較安全：
| Rgyro | = 1
我們暫時采用更短的符號進行下面的計算：
x =RxGyro , y=RyGyro, z=RzGyro
根據(jù)上面的關(guān)系可得：
x = x / 1 = x / SQRT(x^2+y^2+z^2)
分子分母同除以SQRT（X ^ 2 + Z ^ 2）
x = ( x / SQRT(x^2 + z^2) ) / SQRT( (x^2 + y^2 + z^2) / (x^2 + z^2) )
注意x / SQRT(x^2 + z^2) = sin(Axz), 所以:
x = sin(Axz) / SQRT (1 + y^2 / (x^2 + z^2) )
將SQRT內(nèi)部分式的分子分母同乘以z^2
x = sin(Axz) / SQRT (1 + y^2  * z ^2 / (z^2 * (x^2 + z^2)) )
注意 z / SQRT(x^2 + z^2) = cos(Axz)， y / z = tan(Ayz), 所以最后可得:
x = sin(Axz) / SQRT (1 + cos(Axz)^2 * tan(Ayz)^2 )
替換成原來的符號可得：
RxGyro = sin(Axz(n)) / SQRT (1 + cos(Axz(n))^2 * tan(Ayz(n))^2 )
同理可得：
RyGyro = sin(Ayz(n)) / SQRT (1 + cos(Ayz(n))^2 * tan(Axz(n))^2 )
提示：這個公式還可以更進一步簡化。分式兩邊同除以sin（axz（你））可得：
RxGyro =  1  / SQRT (1/ sin(Axz(n))^2  + cos(Axz(n))^2 / sin(Axz(n))^2  * tan(Ayz(n))^2 )
RxGyro =  1  / SQRT (1/ sin(Axz(n))^2  + cot(Axz(n))^2  * sin(Ayz(n))^2  / cos(Ayz(n))^2 )  
現(xiàn)在加減   cos(Axz(n))^2/sin(Axz(n))^2   = cot(Axz(n))^2 
RxGyro =  1  / SQRT (1/ sin(Axz(n))^2  -  cos(Axz(n))^2/sin(Axz(n))^2   + cot(Axz(n))^2  * sin(Ayz(n))^2  / cos(Ayz(n))^2  + cot(Axz(n))^2 )
綜合條件1、2和3、4可得：
RxGyro =  1  / SQRT (1  +   cot(Axz(n))^2 * sec(Ayz(n))^2 ),     其中  cot(x) = 1 / tan(x)  ， sec(x) = 1 / cos(x)
這個公式只用了2個三角函數(shù)并且計算量更低。如果你有Mathematica程序，通過使用 FullSimplify [Sin[A]^2/ ( 1 + Cos[A]^2 * Tan[B]^2)]你可以驗證這個公式。


現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)：
RzGyro  =  Sign(RzGyro)*SQRT(1 – RxGyro^2 – RyGyro^2).
其中，當 RzGyro>=0時，Sign(RzGyro) = 1 , 當 RzGyro<0時，Sign(RzGyro) = -1 。
一個簡單的估算方法：
Sign(RzGyro) = Sign(RzEst(n-1))
在實際應(yīng)用中，當心RzEst（n-1）趨近于0。這時候你可以跳過整個陀螺儀階段并賦值：Rgyro=Rest（n-1）。Rz可以用作計算Axz和Ayz傾角的參考，當它趨近于0時，它可能會溢出并引發(fā)不好的后果。這時你會得到很大的浮點數(shù)據(jù)，并且tan()/atan()函數(shù)得到的結(jié)果會缺乏精度。

現(xiàn)在我們回顧一下已經(jīng)得到的結(jié)果，我們在算法中的第n步，并計算出了下面的值：
Racc – 加速度計讀取的當前值
Rgyro –根據(jù)Rest(-1)和當前陀螺儀讀取值所得
我們根據(jù)哪個值來更新Rest（n）呢？你可能已經(jīng)猜到，兩者都采用。我們會用一個加權(quán)平均值，得：
Rest(n) = (Racc * w1 + Rgyro * w2 ) / (w1 + w2)
分子分母同除以w1，公式可簡化成：
Rest(n) = (Racc * w1/w1 + Rgyro * w2/w1 ) / (w1/w1 + w2/w1)
令w2=w1=wGyro，可得：
Rest(n) = (Racc + Rgyro * wGyro ) / (1 + wGyro)
在上面的公式中，wGyro表示我們對加速度計和陀螺儀的相信程度。這個值可以通過測試確定，根據(jù)經(jīng)驗值5-20之間會得到一個很好的結(jié)果。
此算法和卡爾曼濾波最主要的差別是它的權(quán)重是相對固定的，而卡爾曼濾波中的權(quán)重會隨著加速度計讀取的噪聲而改變。卡爾曼濾波注重給你一個“最好”的理論結(jié)果，而此算法給你的是實際項目中“夠用”的結(jié)果。你可以實現(xiàn)一個算法，它能根據(jù)測量的噪聲而改變wGyro值，但對大部分應(yīng)用來說固定的權(quán)重也能工作的很好。
現(xiàn)在得到最新的估算值還差一步：
RxEst(n) = (RxAcc + RxGyro * wGyro ) / (1 + wGyro)
RyEst(n) = (RyAcc + RyGyro * wGyro ) / (1 + wGyro)
RzEst(n) = (RzAcc + RzGyro * wGyro ) / (1 + wGyro)
現(xiàn)在，再次標準化矢量：
R = SQRT(RxEst(n) ^2 + RyEst(n)^2 +  RzEst(n)^2 )
RxEst(n) = RxEst(n)/R
RyEst(n) = RyEst(n)/R
RzEst(n) = RzEst(n)/R
現(xiàn)在，可以再次進行下一輪循環(huán)了。