加速度計和指南
本帖翻譯自IMU（加速度計和陀螺儀設備）在嵌入式應用中使用的指南。
這篇文章主要介紹加速度計和陀螺儀的數學模型和基本算法，以及如何融合這兩者，側重算法、思想的討論
介紹
本指南旨在向興趣者介紹慣性MEMS（微機電系統）傳感器，特別是加速度計和陀螺儀以及其他整合IMU（慣性測量單元）設備。
IMU單元例子：上圖中MCU頂端的ACC Gyro 6DOF，名為USBThumb，支持USB/串口通信
在這篇文章中我將概括這么幾個基本并且重要的話題：
- 加速度計（accelerometer）檢測什么
- 陀螺儀（gyroscope，也稱作 gyro）檢測什么
- 如何將傳感器ADC讀取的數據轉換為物理單位（加速度傳感器的單位是g，陀螺儀的單位是 度/秒）
- 如何結合加速度傳感器和陀螺儀的數據以得到設備和地平面之間的傾角的準確信息
在整篇文章中我盡量將數學運算降低到最少。如果你知道什么是正弦、余弦、正切函數，那無論你的項目使用哪種平臺你應該都會明白和運用這篇文章中的思想，這些平臺如Arduino、Propeller、Basic Stamp、Ateml芯片、PIC芯片等等。總有些人認為使用IMU單元需要復雜的數學運算（復雜的FIR或IIR濾波，如卡爾曼濾波，Parks-McClellan濾波等）。你如果研究這些會得到很棒且很復雜的結果。我解釋事情的方式，只需要基本的數學。我非常堅信簡單的原則。我認為一個簡單的系統更容易操作和監控，另外許多嵌入式設備并不具備能力和資源去實現需要進行矩陣運算的復雜算法。
我會用我設計的一個新IMU模塊——Acc_Gyro Accelerometer + Gyro IMU作為例子。在下面的例子中我們會使用這個設備的參數。用這個模塊作為介紹非常合適，因為它由3個設備組成：
- LIS331AL (datasheet) – 3軸 2G 模擬加速度計
- LPR550AL (datasheet) – 雙軸（俯仰、翻滾） 500°/s 加速度傳感器
- LY550ALH (datasheet) –單軸（偏航）陀螺儀 最后這個設備在這篇介紹中不使用，不過他在 DCM Matrix implementation中有重要作用
它們一起組成了一個6自由度的慣性測量單元。這是個花哨的名字！然而，在花哨的名字后面是個非常有用的設備組合，接下來我們會詳細介紹之。
第一部分 加速度計
要了解這個模塊我們先從加速度計開始。當我們在想象一個加速度計的時候我們可以把它想作一個圓球在一個方盒子中。你可能會把它想作一個餅干或者甜圈，但我就把它當做一個球好了：
我們假定這個盒子不在重力場中或者其他任何會影響球的位置的場中，球處于盒子的正中央。你可以想象盒子在外太空中，遠離任何天體，如果很難想象，那就當做盒子在航天飛機中，一切東西都處于無重力狀態。在上面的圖中你可以看到我們給每個軸分配了一對墻（我們移除了Y+以此來觀察里面的情況）。設想每面墻都能感測壓力。如果我們突然把盒子向左移動（加速度為1g=9.8m/s^2），那么球會撞上X-墻。然后我們檢測球撞擊墻面產生的壓力，X軸輸出值為-1g。
請注意加速度計檢測到得力的方向與它本身加速度的方向是相反的。這種力量通常被稱為慣性力或假想力 。在這個模型中你你應該學到加速度計是通過間接測量力對一個墻面的作用來測量加速度的，在實際應用中，可能通過彈簧等裝置來測量力。這個力可以是加速度引起的，但在下面的例子中，我們會發現它不一定是加速度引起的。
如果我們把模型放在地球上，球會落在Z-墻面上并對其施加一個1g的力，見下圖：
在這種情況下盒子沒有移動但我們任然讀取到Z軸有-1g的值。球在墻壁上施加的壓力是由引力造成的。在理論上，它可以是不同類型的力量 - 例如，你可以想象我們的球是鐵質的，將一個磁鐵放在盒子旁邊那球就會撞上另一面墻。引用這個例子只是為了說明加速度計的本質是檢測力而非加速度。只是加速度所引起的慣性力正好能被加速度計的檢測裝置所捕獲。
雖然這個模型并非一個MEMS傳感器的真實構造，但它用來解決與加速度計相關的問題相當有效。實際上有些類似傳感器中有金屬小球，它們稱作傾角開關，但是它們的功能更弱，只能檢測設備是否在一定程度內傾斜，卻不能得到傾斜的程度。
到目前為止，我們已經分析了單軸的加速度計輸出，這是使用單軸加速度計所能得到的。三軸加速度計的真正價值在于它們能夠檢測全部三個軸的慣性力。讓我們回到盒子模型，并將盒子向右旋轉45度。現在球會與兩個面接觸：Z-和X-，見下圖：
0.71g這個值是不是任意的，它們實際上是1/2的平方根的近似值。我們介紹加速度計的下一個模型時這一點會更清楚。
在上一個模型中我們引入了重力并旋轉了盒子。在最后的兩個例子中我們分析了盒子在兩種情況下的輸出值，力矢量保持不變。雖然這有助于理解加速度計是怎么和外部力相互作用的，但如果我們將坐標系換為加速度的三個軸并想象矢量力在周圍旋轉，這會更方便計算。
請看看在上面的模型，我保留了軸的顏色，以便你的思維能更好的從上一個模型轉到新的模型中。想象新模型中每個軸都分別垂直于原模型中各自的墻面。矢量R是加速度計所檢測的矢量（它可能是重力或上面例子中慣性力的合成）。RX，RY，RZ是矢量R在X，Y，Z上的投影。請注意下列關系：
，R ^ 2 = RX ^ 2 + RY ^ 2 + RZ ^ 2（公式1）
此公式等價于三維空間勾股定理。
還記得我剛才說的1/2的平方根0.71不是個隨機值吧。如果你把它們代回上式，回顧一下重力加速度是1g，那我們就能驗證：
1 ^ 2 =（SQRT（1/2））^ 2 + 0 ^ 2 +（SQRT（1/2））^ 2
在公式1中簡單的取代： R=1, Rx = -SQRT(1/2), Ry = 0 , Rz = -SQRT(1/2)
經過一大段的理論序言后，我們和實際的加速度計很靠近了。RX，RY，RZ值是實際中加速度計輸出的線性相關值，你可以用它們進行各種計算。
在我們運用它之前我們先討論一點獲取加速度計數據的方法。大多數加速度計可歸為兩類：數字和模擬。數字加速度計可通過I2C，SPI或USART方式獲取信息，而模擬加速度計的輸出是一個在預定范圍內的電壓值，你需要用ADC（模擬量轉數字量）模塊將其轉換為數字值。我將不會詳細介紹ADC是怎么工作的，部分原因是這是個很廣的話題，另一個原因是不同平臺的ADC都會有差別。有些MCU具有內置ADC模塊，而有些則需要外部電路進行ADC轉換。不管使用什么類型的ADC模塊，你都會得到一個在一定范圍內的數值。例如一個10位ADC模塊的輸出值范圍在0 .. 1023間，請注意，1023 = 2 ^ 10 -1。一個12位ADC模塊的輸出值范圍在0 .. 4095內，注意，4095 = 2 ^ 12-1。
我們繼續，先考慮下一個簡單的例子，假設我們從10位ADC模塊得到了以下的三個軸的數據：
AdcRx = 586
AdcRy = 630
AdcRz = 561
每個ADC模塊都有一個參考電壓，假設在我們的例子中，它是3.3V。要將一個10位的ADC值轉成電壓值，我們使用下列公式：
VoltsRx = AdcRx * VREF / 1023
小注：8位ADC的最大值是255 = 2 ^ 8 -1，12位ADC最大值是4095 = 2 ^ 12 -1。
將3個軸的值代入上式，得到：
VoltsRx = 586 * 3.3 / 1023 =～1.89V（結果取兩位小數）
VoltsRy = 630 * 3.3 / 1023 =～2.03V
VoltsRz = 561 * 3.3 / 1023 =～1.81V
每個加速度計都有一個零加速度的電壓值，你可以在它的說明書中找到，這個電壓值對應于加速度為0g。通過計算相對0g電壓的偏移量我們可以得到一個有符號的電壓值。比方說，0g電壓值 VzeroG= 1.65V，通過下面的方式可以得到相對0g電壓的偏移量:
DeltaVoltsRx = 1.89V - 1.65V = 0.24V
DeltaVoltsRy = 2.03V - 1.65V = 0.38V
DeltaVoltsRz = 1.81V - 1.65V = 0.16V
現在我們得到了加速度計的電壓值，但它的單位還不是g（9.8m/s^2），最后的轉換，我們還需要引入加速度計的靈敏度（Sensitivity），單位通常是 mV/g。比方說，加速度計的靈敏度 Sensitivity= 478.5mV / g = 0.4785V /g。靈敏度值可以在加速度計說明書中找到。要獲得最后的單位為g的加速度，我們使用下列公式計算：
RX = DeltaVoltsRx /Sensitivity
RX = 0.24V / 0.4785V / G =～0.5g
RY = 0.38V / 0.4785V / G =～0.79g
RZ = 0.16V / 0.4785V / G =～0.33g
當然，我們可以把所有的步驟全部放在一個式子里，但我想通過介紹每一個步驟以便讓你了解怎么讀取一個ADC值并將其轉換為單位為g的矢量力的分量。
Rx = (AdcRx * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity (公式2)
Ry = (AdcRy * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity
Rz = (AdcRz * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity
現在我們得到了慣性力矢量的三個分量，如果設備除了重力外不受任何外力影響，那我們就可以認為這個方向就是重力矢量的方向。如果你想計算設備相對于地面的傾角，可以計算這個矢量和Z軸之間的夾角。如果你對每個軸的傾角都感興趣，你可以把這個結果分為兩個分量：X軸、Y軸傾角，這可以通過計算重力矢量和X、Y軸的夾角得到。計算這些角度比你想象的簡單，現在我們已經算出了Rx，Ry，Rz的值，讓我們回到我們的上一個加速度模型，再加一些標注上去：
我們感興趣的角度是向量R和X，Y，Z軸之間的夾角，那就令這些角度為Axr，Ayr，Azr。觀察由R和Rx組成的直角三角形：
cos(Axr) = Rx / R , 類似的：
cos(Ayr) = Ry / R
cos(Azr) = Rz / R
從公式1我們可以推導出 R = SQRT( Rx^2 + Ry^2 + Rz^2)
通過arccos()函數（cos()的反函數）我們可以計算出所需的角度：
Axr = arccos(Rx/R)
Ayr = arccos(Ry/R)
Azr = arccos(Rz/R)
我們花了大段的篇幅來解釋加速度計模型，最后所要的只是以上這幾個公式。根據你的應用場合，你可能會用到我們推導出來的幾個過渡公式。我們接下來要介紹陀螺儀模塊，并向大家介紹怎么融合加速度計和陀螺儀的數據以得到更精確的傾角值。
但在此之前，我們再介紹幾個很常用的公式：
cosX = cos(Axr) = Rx / R
cosY = cos(Ayr) = Ry / R
cosZ = cos(Azr) = Rz / R
這三個公式通常稱作方向余弦 ，它主要表達了單位向量（長度為1的向量）和R向量具有相同的方向。你可以很容易地驗證：
SQRT（cosX ^ 2 + COSY ^ 2 + cosZ ^ 2）= 1
這是個很好的性質，因為它避免了我們一直檢測R向量的模（長度）。通常如果我們只是對慣性力的方向感興趣，那標準化模長以簡化其他計算是個明智的選擇。
